斯特林公式证明

斯特林公式证明

斯特林公式的证明过程可以概括为以下几点：
定义序列并计算比值：
定义序列 $a = frac{n!}{n^{n+frac{1}{2}}e^{n}}$。计算 $a$ 与 $a$ 的比值，得到 $frac{a}{a} = left^n cdot sqrt{1+frac{1}{n}} cdot frac{1}{e}$。观察到这个比值大于1，即 $a > a$。利用积分放缩法得到不等式：
结合积分放缩法，可以得到不等式 $ln n! < leftln n n + 1$。进一步简化为 $n! < e cdot n^{n+frac{1}{2}} cdot e^{n}$，这意味着 $a < e$。根据单调有界定理确定极限存在：
由于 $a$ 是单调递减且有上界，根据单调有界定理，$a$ 的极限存在。设这个极限为 $A$，即 $A = lim_{{n to infty}} a$。利用Wallis公式求解极限：
利用Wallis公式 $frac{pi}{2} = lim_{{n to infty}} left[frac{!!}{!!}right]^2 cdot frac{1}{2n+1}$。代入 $a$ 的极限表达式，经过一系列推导，最终得到 $A = sqrt{2pi}$。得出斯特林公式：
因此，斯特林公式可以表示为 $lim_{{n to infty}} frac{n!}{n^{n+frac{1}{2}}e^{n}} = sqrt{2pi}$。或者简化为 $lim_{{n to infty}} frac{sqrt{2pi n} cdot n^n cdot e^{n}}{n!} = 1$。综上所述，斯特林公式的证明过程涉及了序列的定义与比值计算、积分放缩法、单调有界定理以及Wallis公式的应用。
2025-04-19