高数梯度grad公式

梯度grad计算公式如下:在二元函数的情形,设函数z=f(x,y)在平面区域D内具有一阶连续偏导数,则对于每一点P(x,y)∈D,都可以定出一个向量(δf/x)*i+(δf/y)*j。这向量称为函数z=f(x,y)在点P(x,y)的梯度,记作gradf(x,y)。类似的对三元函数也可以定义一个:(δf/x)*i+(δf...
高数梯度grad公式
梯度grad计算公式如下:
在二元函数的情形,设函数z=f(x,y)在平面区域D内具有一阶连续偏导数,则对于每一点P(x,y)∈D,都可以定出一个向量(δf/x)*i+(δf/y)*j。

这向量称为函数z=f(x,y)在点P(x,y)的梯度,记作gradf(x,y)。类似的对三元函数也可以定义一个:(δf/x)*i+(δf/y)*j+(δf/z)*k 记为grad[f(x,y,z)]。
梯度的本意是一个向量(矢量),表示某一函数在该点处的方向导数沿着该方向取得最大值,即函数在该点处沿着该方向(此梯度的方向)变化最快,变化率最大(为该梯度的模)。
在向量微积分中,标量场的梯度是一个向量场。设M是可微的流形, 在M的每一点处安放一个切向量。
要求这些切向量的基点连续移动时,他们也跟着连续地变动的。这些切向量全体称为M上的一个切向量场。
标量场中某一点的梯度指向在这点标量场增长最快的方向。标量场是指一个仅用其大小就可以完整表征的场。一个标量场u 可以用一个标量函数u(x,y,z)来表示。

标量场分为实标量场和复标量场,其中实标量场是最简单的场,它只有一个实标量,而复标量是一个复数的场,它有两个独立的场量,这相当于场量有两个分量。
在向量微积分中,标量场的梯度是一个向量场。标量场中某一点上的梯度指向标量场增长最快的方向,梯度的长度是这个最大的变化率。
更严格的说,从欧几里得空间Rn到R的函数的梯度是在Rn某一点最佳的线性近似。在这个意义上,梯度是雅可比矩阵的特殊情况。
在单变量的实值函数的情况,梯度只是导数,或者,对于一个线性函数,也就是线的斜率。
2023-04-30
mengvlog 阅读 7 次 更新于 2025-08-21 02:56:30 我来答关注问题0
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