数列求和的公式是如何推导出来的？

数列求和的公式是如何推导出来的？

数列求和的公式有很多种，不同的公式对应不同的数列。这里我举两个例子，一个是等差数列求和公式，另一个是等比数列求和公式。
1.等差数列求和公式：$S_n=frac{n(a_1+a_n)}{2}$
推导方法：将等差数列的前n项写成一个三角形，然后将这个三角形旋转180度，得到一个平行四边形。这个平行四边形的对角线分别是$a_1$、$a_n$和$a_1+a_n$，因此这个平行四边形的面积就等于前n项和$S_n$。而这个平行四边形的面积又等于$frac{n(a_1+a_n)}{2}$，因此有$S_n=frac{n(a_1+a_n)}{2}$。
2.等比数列求和公式：$S_n=frac{a_1(1-r^n)}{1-r}$
推导方法：将等比数列的前n项写成一个三角形，然后将这个三角形旋转180度，得到一个梯形。这个梯形的上底是首项$a_1$，下底是末项$a_n$，高是公比r。因此这个梯形的面积就等于前n项和$S_n$。而这个梯形的面积又等于$frac{a_1(1-r^n)}{1-r}$，因此有$S_n=frac{a_1(1-r^n)}{1-r}$。
2023-12-25