椭圆的面积公式，怎么推导出来的

椭圆的面积公式，怎么推导出来的

椭圆的面积公式为S = πab，其中a和b分别为椭圆的长半轴和短半轴。这个公式可以通过以下两种方法推导出来：
方法一：仿射变换法
原理：椭圆可以被视为一个被“压缩”了的圆。通过仿射变换，可以在新的坐标系中得到一个圆，然后计算该圆的面积，并乘以相应的比例系数，即可得到椭圆的面积。步骤：设椭圆方程为^2+^2=1。令x’=x，y’=y*a/b，进行仿射变换。在新的坐标系中，得到一个圆：x’^2+y’^2=a^2。计算该圆的面积S=π*a^2。由于仿射变换在y方向等比拉长了坐标系，因此需要将面积乘以比例系数b/a，得到椭圆的面积S=π*a*b。方法二：积分法
原理：通过对椭圆在第一象限部分的面积进行积分，然后乘以4，可以得到椭圆的总面积。步骤：取椭圆在第一象限的部分，其方程为y=√。对该方程进行积分，积分区间从0到a。换元t=x/a，将积分转化为关于t的积分。根据积分的几何意义，所求的积分为1/4单位圆的面积乘以相应的系数。通过计算，得到椭圆在第一象限的面积S/4=ab∫√dt，该积分为1/4单位圆的面积，因此S/4=π，即S=πab/4*4=πab。以上两种方法均可以证明椭圆的面积公式为S = πab。
2025-05-24