一元三次方程 和一元四次方程的求根公式是什么

一元三次方程 和一元四次方程的求根公式是什么

一元三次方程的一般形式为ax^3+bx^2+cx+d=0，其中a、b、c、d为已知实数，a≠0。通过变换可化为标准型x^3+bx^2+cx+d=0。为了简化计算，我们令x=y-b/3，代入原方程得y^3+(c-b^2/3)y+(2b^3/27-bc/3+d)=0，即y^3+py+q=0，其中p=c-b^2/3，q=2b^3/27-bc/3+d。

设y=u+v，有p=-3uv，代入方程得u^3+v^3+q+3uv(u+v)+p(u+v)=0，整理得u^3+v^3+q-3uv(p/3+u+v)=0。由u^3+v^3+q-3uv(p/3+u+v)=0，得u^3+v^3+q=0，进一步转化为u^3+qu^3-(p/3)^3=0。设u^3=t，则t^2+qt-(p/3)^3=0。

使用求根公式解得t=(-q±(q^2+4(p/3)^3)^0.5)/2，从而u=((-q±(q^2+4(p/3)^3)^0.5)/2)^(1/3)，v=-p/(3u)=(-p/3)/((-q±(q^2+4(p/3)^3)^0.5)/2)^(1/3)。由此可得y1=u+v，即y1=((-q±(q^2+4(p/3)^3)^0.5)/2)^(1/3)+(-p/3)/((-q±(q^2+4(p/3)^3)^0.5)/2)^(1/3)。

为求其余两个根，将y1代入原方程y^3+py+q=(y-y1)f(y)中，通过待定系数法，设y^3+py+q=(y-y1)(y^2+k1y+k2)，得到k1=y1，k2=p+y1^2。由此求得f(y)=y^2+y1y+p+y1^2，进而利用求根公式解出y2和y3。

这个过程虽然繁琐，但正是通过这些步骤，我们能够得到一元三次方程的解。2024-12-11