一元三次方程求根公式是什么

一元三次方程求根公式是什么

一元三次方程求根公式，即卡尔丹公式，用于解方程x^3+px+q=0。该公式给出的三个根为：
x1 = [(-q/2) + √((-q/2)^2 - (q^2/4 + p^3/27))^(1/2)]^(1/3) + [(-q/2) - √((-q/2)^2 - (q^2/4 + p^3/27))^(1/2)]^(1/3)
x2 = w[(-q/2) + √((-q/2)^2 - (q^2/4 + p^3/27))^(1/2)]^(1/3) + w^2[(-q/2) - √((-q/2)^2 - (q^2/4 + p^3/27))^(1/2)]^(1/3)
x3 = w^2[(-q/2) + √((-q/2)^2 - (q^2/4 + p^3/27))^(1/2)]^(1/3) + w[(-q/2) - √((-q/2)^2 - (q^2/4 + p^3/27))^(1/2)]^(1/3)
其中，w = (-1 + √3i)/2。这个公式是通过一系列代换和推导得出的，首先考虑方程x^3=1和x^3=A的解，然后推广到一般形式ax^3+bx^2+cx+d=0（a≠0），通过变量变换简化为x^3+px+q=0。通过韦达定理和复数运算，求得u和v的可能组合，从而得到原方程的三个根。判别式△=q^2/4+p^3/27用来判断根的性质，当△>=0时，有一个实根和两个共轭复根；当△<0时，有三个实根。此外，根与系数之间存在关系，如x1+x2+x3=-b/a等。
2024-08-16