一元3次方程求根公式

一元三次方程 $x^3 + px + q = 0$ 的求根公式为卡尔丹公式,具体形式如下:第一个根 $x_1$:[x_1 = left[ frac{q}{2} + left^{frac{1}{2}} right]^{frac{1}{3}} + left[ frac{q}{2} left^{frac{1}{2}} right]^{frac{1}{3}}]第二个根 $x_2$:[x_2 = ...
一元3次方程求根公式
一元三次方程 $x^3 + px + q = 0$ 的求根公式为卡尔丹公式,具体形式如下:
第一个根 $x_1$:[x_1 = left[ frac{q}{2} + left^{frac{1}{2}} right]^{frac{1}{3}} + left[ frac{q}{2} left^{frac{1}{2}} right]^{frac{1}{3}}]
第二个根 $x_2$:[x_2 = omega left[ frac{q}{2} + left^{frac{1}{2}} right]^{frac{1}{3}} + omega^2 left[ frac{q}{2} left^{frac{1}{2}} right]^{frac{1}{3}}]其中,$omega = frac{1}{2} + frac{sqrt{3}}{2}i$
第三个根 $x_3$:[x_3 = omega^2 left[ frac{q}{2} + left^{frac{1}{2}} right]^{frac{1}{3}} + omega left[ frac{q}{2} left^{frac{1}{2}} right]^{frac{1}{3}}]
注意: 这里的 $omega$ 和 $omega^2$ 是复数单位根,满足 $omega^3 = 1$,且 $omega neq 1$,$omega^2 neq 1$。 判别式 $Delta = frac{q^2}{4} + frac{p^3}{27}$ 用于判断方程的根的性质: 当 $Delta geq 0$ 时,方程有一个实根和两个共轭复根。 当 $Delta < 0$ 时,方程有三个实根。然而,在更一般的复数范围内,这个条件并不严格决定根的数量和性质,因为立方根在复数域内总是存在的。
这些公式允许你直接求解一元三次方程的根,但需要注意立方根的选择可能会影响最终的结果。在实际应用中,可能需要通过数值方法来找到精确的根。
2025-05-19
mengvlog 阅读 7 次 更新于 2025-08-21 22:39:30 我来答关注问题0
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