一元3次方程求根公式

一元3次方程求根公式

一元三次方程 $x^3 + px + q = 0$ 的求根公式为卡尔丹公式，具体形式如下：
第一个根 $x_1$：[x_1 = left[ frac{q}{2} + left^{frac{1}{2}} right]^{frac{1}{3}} + left[ frac{q}{2} left^{frac{1}{2}} right]^{frac{1}{3}}]
第二个根 $x_2$：[x_2 = omega left[ frac{q}{2} + left^{frac{1}{2}} right]^{frac{1}{3}} + omega^2 left[ frac{q}{2} left^{frac{1}{2}} right]^{frac{1}{3}}]其中，$omega = frac{1}{2} + frac{sqrt{3}}{2}i$
第三个根 $x_3$：[x_3 = omega^2 left[ frac{q}{2} + left^{frac{1}{2}} right]^{frac{1}{3}} + omega left[ frac{q}{2} left^{frac{1}{2}} right]^{frac{1}{3}}]
注意： 这里的 $omega$ 和 $omega^2$ 是复数单位根，满足 $omega^3 = 1$，且 $omega neq 1$，$omega^2 neq 1$。 判别式 $Delta = frac{q^2}{4} + frac{p^3}{27}$ 用于判断方程的根的性质： 当 $Delta geq 0$ 时，方程有一个实根和两个共轭复根。 当 $Delta < 0$ 时，方程有三个实根。然而，在更一般的复数范围内，这个条件并不严格决定根的数量和性质，因为立方根在复数域内总是存在的。
这些公式允许你直接求解一元三次方程的根，但需要注意立方根的选择可能会影响最终的结果。在实际应用中，可能需要通过数值方法来找到精确的根。
2025-05-19