一元二次方程求根公式的推导详解公式运用实例

一元二次方程求根公式的推导详解公式运用实例

一元二次方程求根公式的推导、详解及运用实例
一、一元二次方程求根公式
一元二次方程的求根公式为：$x = frac{-b pm sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
其中，a、b、c分别是一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$（a ≠ 0）的系数。
二、求根公式的推导
方程变形：将一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$进行移项，得到$ax^2 + bx = -c$。
等式两边同时除以a：得到$x^2 + frac{b}{a}x = -frac{c}{a}$。
配方：为了将等式左边转化为完全平方的形式，我们在等式两边同时加上$(frac{b}{2a})^2$，得到：$x^2 + frac{b}{a}x + (frac{b}{2a})^2 = (frac{b}{2a})^2 - frac{c}{a}$。
整理得到完全平方：左边可以写为$(x + frac{b}{2a})^2$，于是有：$(x + frac{b}{2a})^2 = frac{b^2 - 4ac}{4a^2}$。
开方求解：对等式两边同时开平方，得到：$x + frac{b}{2a} = pm frac{sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$。
移项得到求根公式：最后，移项得到一元二次方程的求根公式：$x = frac{-b pm sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$。
三、公式运用实例
设一元二次方程为$2x^2 - 4x + 1 = 0$，求其根。
确定系数：在这个方程中，a = 2，b = -4，c = 1。
计算判别式：判别式$Delta = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 times 2 times 1 = 8$。
代入求根公式：将a、b、c的值代入求根公式，得到：$x = frac{4 pm sqrt{8}}{4} = frac{2 pm sqrt{2}}{2}$。
所以，方程$2x^2 - 4x + 1 = 0$的解为$x_1 = frac{2 + sqrt{2}}{2}$，$x_2 = frac{2 - sqrt{2}}{2}$。
2025-04-05