高效学习概率论之公式与性质

高效学习概率论之公式与性质

高效学习概率论之（公式与性质）如下：
一、概率论的基本概念
事件的运算律：
交换律：A∪B＝B∪AA＼cupB＝B＼cupAA＼cupB＝B＼cupAAB＝BAAB＝BAAB＝BA
结合律：（A∪B）∪C＝A∪（B∪C）（A＼cupB）＼cupC＝A＼cup（B＼cupC）（A＼cupB）＼cupC＝A＼cup（B＼cupC）（A∩B）∩C＝A∩（B∩C）（A＼capB）＼capC＝A＼cap（B＼capC）（A＼capB）＼capC＝A＼cap（B＼capC）
分配律：（AUB）C＝（AC）U（BC）（AUB）C＝（AC）U（BC）（AUB）C＝（AC）U（BC）
AU（BC）＝（AUB）（AUC）AU（BC）＝（AUB）（AUC）AU（BC）＝（AUB）（AUC）
摩根律：A∪B¯＝A¯∩B¯＼bar{A＼cupB}＝＼bar{A}＼cap＼bar{B}＼bar{A＼cupB}＝＼bar{A}＼cap＼bar{B}
A∩B¯＝A¯∪B¯＼bar{A＼capB}＝＼bar{A}＼cup＼bar{B}＼bar{A＼capB}＝＼bar{A}＼cup＼bar{B}
减法运算：A−B＝AB¯A-B＝A＼bar{B}A-B＝A＼bar{B}

条件概率：
若P（B|A）＝P（AB）P（A）（若P（A）＞0）P（B|A）＝＼frac{P（AB）}{P（A）}（若P（A）＞0）P（B|A）＝＼frac{P（AB）}{P（A）}（若P（A）＞0）
若P（A|B）＝P（AB）P（B）（若P（B）＞0）P（A|B）＝＼frac{P（AB）}{P（B）}（若P（B）＞0）P（A|B）＝＼frac{P（AB）}{P（B）}（若P（B）＞0）

乘法法则：
若P（AB）＝P（A）P（B|A）（若P（A）＞0）P（AB）＝P（A）P（B|A）（若P（A）＞0）P（AB）＝P（A）P（B|A）（若P（A）＞0）
若P（AB）＝P（B）P（A|B）（若P（B）＞0）P（AB）＝P（B）P（A|B）（若P（B）＞0）P（AB）＝P（B）P（A|B）（若P（B）＞0）
P（A1A2…An）＝P（A1）P（（A2|（A1）×P（（A3|（A1A2）…P（（An|（A1…（An−1）P（{A_{1}}{A_{2}}…{A_{n}}）＝P（{A_{1}}）P（（{A_{2}}|（{A_{1}}）＼timesP（（{A_{3}}|（{A_{1}}{A_{2}}）…P（（{A_{n}}|（{A_{1}}…（{A_{n-1}}）P（{A_{1}}{A_{2}}…{A_{n}}）＝P（{A_{1}}）P（（{A_{2}}|（{A_{1}}）＼timesP（（{A_{3}}|（{A_{1}}{A_{2}}）…P（（{A_{n}}|（{A_{1}}…（{A_{n-1}}）
全概率公式：
若事件A1A_{1}A_{1}，A2A_{2}A_{2}，…构成一个完备事件组，且都具有正概率，则对任何一个事件B，有
P（B）＝∑P（Ai）P（B|Ai）P（B）＝＼sum_{}P（A_{i}）P（B|A_{i}）P（B）＝＼sum_{}P（A_{i}）P（B|A_{i}）
贝叶斯公式：
若A，A2，…构成一个完备事件组，且均具有正概率，则对任何一个概率不为零的事件B，有
P（Am|B）＝P（Am）P（B|Am）∑iP（Ai）P（B|Ai）P（A_{m}|B）＝＼frac{P（A_{m}）P（B|A_{m}）}{＼sum_{i}P（A_{i}）P（B|A_{i}）}P（A_{m}|B）＝＼frac{P（A_{m}）P（B|A_{m}）}{＼sum_{i}P（A_{i}）P（B|A_{i}）}
事件独立性结论：
事件与独立事件A与B独立⇒P（AB）＝P（A）P（B）事件A与B独立＼RightarrowP（AB）＝P（A）P（B）事件A与B独立＼RightarrowP（AB）＝P（A）P（B）
若事件与独立则与与与中的每一对事件都相互独立若事件A与B独立，则A与B¯，A¯与B，A¯与B¯中的每一对事件都相互独立若事件A与B独立，则A与＼bar{B}，＼bar{A}与B，＼bar{A}与＼bar{B}中的每一对事件都相互独立若事件A与B独立，则A与＼bar{B}，＼bar{A}与B，＼bar{A}与＼bar{B}中的每一对事件都相互独立
若事件相互独立则若事件A1，An相互独立，则P（A1…An）＝∏i＝1nP（Ai）若事件A_{1}，A_{n}相互独立，则P（A_{1}…A_{n}）＝＼prod_{i＝1}＾{n}P（A_{i}）若事件A_{1}，A_{n}相互独立，则P（A_{1}…A_{n}）＝＼prod_{i＝1}＾{n}P（A_{i}）
若事件相互独立则若事件A1，An相互独立，则P（∑i＝1nAi）＝1−∏i＝1nP（Ai）若事件A_{1}，A_{n}相互独立，则P（＼sum_{i＝1}＾{n}{A_{i}}）＝1-＼prod_{i＝1}＾{n}P（A_{i}）若事件A_{1}，A_{n}相互独立，则P（＼sum_{i＝1}＾{n}{A_{i}}）＝1-＼prod_{i＝1}＾{n}P（A_{i}）
伯努利定理：
设一次试验中事件A发生的概率为p（0＜p＜1），则n重伯努利试验中，事件A恰好发生k次的概率P_{n}（k）为
其中Pn（k）＝CnkPKqn−k（k＝0，1，…，n）其中q＝1−pP_{n}（k）＝C_{n}＾{k}P＾{K}q＾{n-k}（k＝0，1，…，n）其中q＝1-pP_{n}（k）＝C_{n}＾{k}P＾{K}q＾{n-k}（k＝0，1，…，n）其中q＝1-p。
2023-09-11