圆锥体积公式，推导过程

圆锥体积公式，推导过程

圆锥的体积
　　一个圆锥所占空间的大小，叫做这个圆锥的体积．
　　一个圆锥的体积等于与它等底等高的圆柱的体积的1/3
　　根据圆柱体积公式V=Sh（V=rrπh），得出圆锥体积公式：

圆锥
V=1/3Sh
　　S是圆锥的底面积，h是圆锥的高，r是圆锥的底面半径。
　　证明：
　　把圆锥沿高分成k分 每份高 h/k,
　　第 n份半径：n*r/k
　　第 n份底面积：pi*n^2*r^2/k^2
　　第 n份体积：pi*h*n^2*r^2/k^3
　　总体积(1+2+3+4+5+...+n)份:pi*h*(1^2+2^2+3^2+4^2+...+k^2)*r^2/k^3
　　因为
　　1^2+2^2+3^2+4^2+...+k^2=k*(k+1)*(2k+1)/6
　　所以
　　总体积(1+2+3+4+5+...+n)份:pi*h*(1^2+2^2+3^2+4^2+...+k^2)*r^2/k^3
　　=pi*h*r^2* k*(k+1)*(2k+1)/6k^3
　　=pi*h*r^2*(1+1/k)*(2+1/k)/6
　　因为当n越来越大，总体积越接近于圆锥体积，1/k越接近于0
　　所以pi*h*r^2*(1+1/k)*(2+1/k)/6=pi*h*r^2/3
　　因为V圆柱=pi*h*r^2
　　所以
　　V圆锥是与它等底等高的V圆柱体积的1/32012-03-07

一、等效替代法：
圆柱的体积为;SH
圆锥的体积是圆柱的三分之一(这个自己做实验就可以看出来.如:拿一个圆柱的器具和一个圆锥的器具,在圆锥的器具里倒满水,把水往圆柱的器具里倒,倒三次才倒满.对了,这个圆锥的器具的半径和高要和圆柱的器具一样),即用一个圆锥盛三次水,正好等于一个等低等高圆柱的容积,用圆柱的容积替代了圆锥的体积
所以圆锥的体积V＝1/3Sh2021-06-30

用等底等高的空心圆柱和圆锥，圆锥内倒满水 ，倒入圆柱内，连续倒3次，圆柱倒满，由此得出1/3的关系。2012-03-05

简单分析一下，答案如图所示

2023-06-01

2020-03-04

优质解答
　　一、等效替代法：
　　圆柱的体积为;SH
　　圆锥的体积是圆柱的三分之一(这个自己做实验就可以看出来.如:拿一个圆柱的器具和一个圆锥的器具,在圆锥的器具里倒满水,把水往圆柱的器具里倒,倒三次才倒满.对了,这个圆锥的器具的半径和高要和圆柱的器具一样),即用一个圆锥盛三次水,正好等于一个等低等高圆柱的容积,用圆柱的容积替代了圆锥的体积
　　所以圆锥的体积V＝1/3Sh
　　二、用微积分推导
　　思路是将圆锥微分为无限个半径逐渐减小的圆片的堆积,微圆片看成高度无限小的圆柱
　　设圆锥的高为HM地面半径R
　　几何法得到,每个界面的半径与界面高度的关系为 r=R-Rh/H
　　积分πr^2h
　　=E（π^2h)
　　∫(πr^2)dh=∫πR^2（1+h^2/H^2 -2h/H)dh h从0积分到H
　　=πR^2(H+H^3/3H^2-H^2/H)
　　=πR^2(H+H/3-H)
　　=πR^2H/32016-12-07

把圆锥装入装有水的与其圆锥等底等高圆柱体（长方体）容器里，根据水升高情况，借助圆柱（长方体）体积公式 底面积乘高，就可以算出圆锥的体积公式了 底面积乘高乘1/32012-06-20

用等底等高的空心圆柱和圆锥，圆锥内倒满水 ，倒入圆柱内，连续倒3次，圆柱倒满，由此得出1/3的关系。2013-07-26

1/3πr^2h
1/3是微积分中的r^2积分成1/3r^3的2012-08-26

1/3sh2012-08-20