牛顿莱布尼兹公式的证明

牛顿莱布尼兹公式的证明

f(x)dx=F(b)-F(a)这即为牛顿—莱布尼茨公式。

牛顿布莱尼茨公式通常也被称为微积分基本定理，揭示了定积分与被积函数的原函数或者不定积分之间的联系。牛顿-莱布尼兹公式，又称为微积分基本定理,其内容是:若函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，且存在原函数F (x),则f(x)在[a,b]_上可积,且从a到b的定积分(积分号下限为a上限为b) : ff(x)dx=F (b)-F(a)。
牛顿-莱布尼茨公式的发现，使人们找到了解诀曲线的长度，曲线围成的面积和曲面围成的体积这些问题的一般方法。它简化了定积分的计算，只要知道被积函数的原函数，总可以求出定积分的精确值或一-定精 度的近似值。牛顿-莱布尼茨公式是联系微分学与积分学的桥梁，它是微积分中最基本的公式之一。
它证明了微分与积分是可逆运算，同时在理论上标志着微积分完整体系的形成，从此微积分成为一门真正的学科。牛顿-莱布尼茨公式是积分学理论的主干，利用牛顿一莱布尼茨公式可以证明定积分换元公式，积分第一中值定理和积分型余项的泰勒公式。牛顿莱布尼茨公式还可以推广到二重积分与曲线积分，从-维推广到多维。

理解：
比如路程公式：距离s=速度v×时间t，即s=v×t，那么如果t是从时间a开始计算到时间b为止，t=b-a，而如果v不能在这个时间段内保持均速，那么上面的这个公式（s=v×t，t=b-a）就不能和谐的得到正确结果，于是引出了定积分的概念。
公式的应用：
对函数f（x）于区间（a，b）上的定积分表达为：b∫a×f（x）dx现在我们把积分区间的上限作为一个变量，这样我们就定义了一个新的函数：Φ（x）=x∫a×f（x）dx。
但是这里x出现了两种意义，一是表示积分上限，二是表示被积函数的自变量，但定积分中被积函数的自变量取一个定值是没意义的。为了只表示积分上限的变动，我们把被积函数的自变量改成别的字母如t，这样意义就非常清楚了：Φ（x）=x∫a×f（t）dt。
研究这个函数Φ（x）的性质：1、定义函数Φ（x）=x（上限）∫a（下限）f（t）dt，则Φ与格林公式和高斯公式的联系’（x）=f（x）。

牛顿简介、哲学思想及主要成就：
牛顿：
艾萨克·牛顿（1643年1月4日—1727年3月31日）爵士，英国皇家学会会长，英国著名的物理学家，百科全书式的“全才”。
哲学思想：
牛顿的哲学思想基本属于自发的唯物主义，他承认时间、空间的客观存在。如同历史上一切伟大人物一样，牛顿虽然对人类作出了巨大的贡献，但他也不能不受时代的限制。他把时间、空间看作是同运动着的物质相脱离的东西，提出了所谓绝对时间和绝对空间的概念。
主要成就：
他在1687年发表的论文《自然定律》里，对万有引力和三大运动定律进行了描述。在力学上，牛顿阐明了动量和角动量守恒的原理，提出牛顿运动定律。在光学上，他发明了反射望远镜，并基于对三棱镜将白光发散成可见光谱的观察，发展出了颜色理论。
他还系统地表述了冷却定律，并研究了音速。在数学上，牛顿与戈特弗里德·威廉·莱布尼茨分享了发展出微积分学的荣誉。他也证明了广义二项式定理，提出了“牛顿法”以趋近函数的零点，并为幂级数的研究做出了贡献。

2023-08-28