高数导数公式表

高数导数公式表

高数导数公式表如下：
1、y=c，y'=0（c为常数）。
2、y=x^μ，y'=μx^(μ-1)（μ为常数且μ≠0）。
3、y=a^x，y'=a^xlna；y=e^x，y'=e^x。
4、y=logax，y'=1/(xlna)（a>0且a≠1）；y=lnx，y'=1/x。
5、y=sinx，y'=cosx。
6、y=cosx，y'=-sinx。
7、y=tanx，y'=(secx)^2=1/(cosx)^2。
8、y=cotx，y'=-(cscx)^2=-1/(sinx)^2。

导数公式规律：
一阶导数的导数称为二阶导数，二阶以上的导数可由归纳法逐阶定义。二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数。从概念上讲，高阶导数可由一阶导数的运算规则逐阶计算，但从实际运算考虑这种做法是行不通的。因此有必要研究高阶导数特别是任意阶导数的计算方法。
可见导数阶数越高，相应乘积的导数越复杂，但其间却有着明显的规律性，为归纳其一般规律，乘积的n阶导数的系数及导数阶数的变化规律类似于二项展开式的系数及指数规律。
导数公式的推导：
导数公式是微积分学中的重要概念，它描述了函数在某一点处的变化率。以下是导数公式的推导过程：
首先，我们考虑一个函数f(x)，它在x=x0处有定义。为了求f(x)在x=x0处的导数，我们可以使用极限的定义。根据极限的定义，如果lim(x→x0)[f(x)-f(x0)/(x-x0)存在，那么该极限值就是f(x)在x=x0处的导数。

接下来，我们利用等价无穷小替换法则，即当x→0时，sinx~x，来推导导数公式。我们知道，当x→0时，sin(x-x0)~(x-x0)。因此，我们可以将式子lim(x→x0)[f(x)-f(x0)]/(x-x0)中的分母替换为(x-x0)-sin(x-x0)，这样我们就可以得到lim(x→x0)[f(x)-f(x0)]/(x-x0)=lim(x→x0)[f(x)- f(x0)]/[(xx0)-sin(x-x0)]。
然后，我们可以利用泰勒级数展开sin(x-x0)，得到lim(x→x0)[f(x)-f(x0)]/[(x-x0)-sin(x-x0)]= lim(x→x0)[f'(x0)+O((-x0))^2]/[(1-cos(x-x0))+O((x-x0)^2)]。
最后，我们利用等价无穷小替换法则和求极限的基本性质，可以得出lim(x→x0)[f'(x0)+O((x- x0))^2]/[(1-cos(x-x0))+O((x-x0)^2)]=f'(x0)/1=f'(x0)。

因此，我们证明了f(x)在x=x0处的导数为f'(x0)。需要注意的是，这里只给出了一种常见的导数公式推导方法，实际上导数公式的推导有很多种方法，如直接求导法、幂级数展开法等。
2023-11-23