等差数列的前n项和公式及推导过程 等差数列的前n项和公式是什么

等差数列的前n项和公式及推导过程 等差数列的前n项和公式是什么

等差数列的前n项和公式为：$S_n = frac{n}{2}$ 或 $S_n = na_1 + frac{nd}{2}$。
推导过程如下：
初始表达式：
等差数列的前n项和可以表示为：$S_n = a_1 + a2 + ldots + a{n1} + a_n$。加法交换律：
根据加法的交换律，我们可以将上式中的项进行倒序排列，得到：$S_n = an + a{n1} + ldots + a_2 + a_1$。两式相加：
将上述两个表达式相加，得到：$2S_n = + + ldots + + $。利用等差数列性质：
由于等差数列中，任意两项之和是一个常数，即：$a_1 + a_n = a2 + a{n1} = ldots = ak + a{n+1k}$。因此，上式中的每一对括号内的和都等于$a_1 + a_n$。简化表达式：
将上述性质应用到上一步得到的等式中，可以简化为：$2S_n = n$。求解前n项和：
最后，将上式两边同时除以2，得到等差数列的前n项和公式：$S_n = frac{n}{2}$。另外，由于等差数列的通项公式为$a_n = a_1 + d$，我们也可以将$a_n$代入前n项和公式中，得到另一个形式的前n项和公式：$S_n = na_1 + frac{nd}{2}$。
2025-06-05