半角公式的推导

半角公式的推导

这是正弦半角公式
因为 cosa=1-2sin a/2的平方
所以 2sin二分之a的平方=1-cosa
故 sin二分之a=± 根号下（1-cosa）1/2

余弦半角公式 同理

正切半角公式用正弦的除以余弦的半角公式
就成了

根号外都是±2008-01-08

正弦，余弦正切：首先推导出两角和公式：sin（x+y）=sinxcosy+cosxsiny
令x=θ/2，y=θ/2
sin（θ/2+θ/2）=sinθ/2cosθ/2+cosθ/2sinθ/2
得到：cosθ/2=sinθ/2sinθ/2
sin（x-y）=sinxcosy-cosxsiny
令x=θ，y=θ/2
sin（θ-θ/2）=sinθcosθ/2-cosθsinθ/2
sinθ/2=sinθ(sinθ/2sinθ/2)-cosθsinθ/2
sin²θ/2=sin²θ/2(1+cosθ)
sin²θ/2=(1-cos²θ)/2(1+cosθ)
sin²θ/2=(1+cosθ)/2
sinθ/2=±√(1+cosθ)/2
cos(a+b)=coacosb-sinasinb
令a=b=d
cos2d=(cosd)^2-(sind)^2=(cosd)^2-[1-(cosd)^2]=2(cosd)^2-1
所以(cosd)^2=(cos2d+1)/2
以d/2代d，开方有cosd/2=±√[(1+cosd)/2]
而cos2d=(cosd)^2-(sind)^2=[1-(sind)^2]-(sind)^2=1-2(sind)^2
所以(sind)^2=(1-cos2d)/2
同样的方法有sind/2=±√[(1-cosd)/2]
tand/2=(sind/2)/(cosd/2)=±√[(1-cosd)/(1+cosd/2)]
还有一个是tand=sin2d/(1+cos2d)=(1-cos2d)/sin2d，推导如下：
tand=sind/cosd=(2sindcosd)/(2cosdcosd)=sin2d/2(cosd)^2=sin2d/(1+cos2d)
tand=sind/cosd=(2sindsind)/(2cosdsind)=2(sind)^2/sin2d=(1-cos2d)/sin2d
[最后一步用了C(2d)的变形]2019-10-12

把半角当全角，再用倍角公式2007-12-30

举个例子吧，cosα=cos2(α/2)=2(cosα/2)^2-1
所以(cosα/2)^2=(cosα+1)/22020-05-09

二倍角公式
sin2α=2sinαcosα
tan2α=2tanα/(1-tanα)
cos2α=1-2sin^2(α)
·半角公式：
sin^2(α/2)=(1-cosα)/2
cos^2(α/2)=(1+cosα)/2
tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα)
tan(α/2)=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα
·万能公式：
sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]
cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]
tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]
·积化和差公式：
sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]
cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]
cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]
sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]
（^代表平方）2019-11-24