立体几何点到平面的距离公式

立体几何点到平面的距离公式

立体几何中点到平面的距离公式为：$d = frac{|Ax + By + Cz + D|}{sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$
其中，点$P(x, y, z)$是空间中任意一点，平面的一般方程为$Ax + By + Cz + D = 0$，$A$、$B$、$C$为平面的法向量的坐标分量，$D$为常数项。
具体解释如下：
法向量的作用：
在立体几何中，平面的法向量是与平面垂直的向量。通过平面的法向量，我们可以确定点到平面的垂直关系。点到平面的垂线：
过点$P(x, y, z)$和平面的法向量，可以构造一条从点到平面的垂线。这条垂线与平面的交点，以及原点到交点的距离，即为点到平面的距离。距离公式的推导：
通过向量的点积和模长公式，可以推导出点到平面的距离公式。具体地，点到平面的距离等于点$P$到平面上任意一点$Q$的向量$overrightarrow{PQ}$与平面法向量$overrightarrow{n}$的点积，除以法向量的模长。由于平面上任意一点$Q$满足平面方程，因此可以通过平面方程和点$P$的坐标，求出$overrightarrow{PQ}$与$overrightarrow{n}$的点积，进而得到点到平面的距离公式。特殊情况：
当点$P(x, y, z)$在平面内时，即满足平面方程$Ax + By + Cz + D = 0$，此时点到平面的距离为0。综上所述，立体几何中点到平面的距离公式是一个重要的几何工具，它可以帮助我们计算空间中点到平面的垂直距离。
2025-06-10