引力势能与重力势能的微积分公式是什么？

引力势能与重力势能的微积分公式是什么？

1、引力势能公式微积分推导过程如下图，mgh适合地面上g不变化的情况，而GMm/r适用于太空。

2、引力势能公式普通推导过程如下：
在太空中所受的万有引力 相当于人在地球上所受的重力一般,是一个保守力（做功只与初末位置有关）
然后我们假设在太空中有这样的两个星体AB,质量分别为M1，M2,相距r1。
当B星体向它们的连心线AB（其实就是万有引力的方向上）向外移动一段距离△r时,
其距离改变为r2 ,r1+△r→r2,考虑△r很微小,可近似为r1=r2。
同时在改变的过程中由于△r很微小,∴它们的万有引力是不变的。
所以：万有引力在由r1+△r→r2所做的功就是W1=Gm1m2/r1²×△r=(Gm1m2/r1r2)×（r2-r1)
=Gm1m2/r1-Gm1m2/r2
同理考虑无穷个这样的△r可得W2= Gm1m2/r2-Gm1m2/r3
W3=Gm1m2/r3-Gm1m2/r4
W4=Gm1m2/r4-Gm1m2/r5
…………………………
WN=Gm1m2/r n-1 -Gm1m2/rn
然后累项相加得W1+W2+W3+W4……+WN=Gm1m2/r1-Gm1m2/rn
因为N趋近于无穷大,所以Gm1m2/rn就为零了∴从原处到无穷远的万有引力做功为-Gm1m2/r1,又因为 W万=EP1-EPN=
-Gm1m2/r1,EPn=0 所以EP1=-Gm1m2/r1 所以得星体A在原来的万有引力势能为EP1=-Gm1m2/r1 ∴对于任意星体都满足E=-GMm/r

扩张资料：
引力势能证明
以地球为例，设地球质量为M，其无穷远处为势能零点，则当质量为m的物体自无穷远处移动到距离地球r处时，引力消耗势能做功为
Wp=

其中

为移动过程中的任意微小位移。
对于距离地球x初的质量体m，其引力F=

，
则当质量m由无穷远处移动到距地球r处，有
Wp=

=

解得Wp=

当质量体m由无穷远处（零势能点）移动到距离地球r处，引力做功Wp=

，即引力势能减少了这么多，则该处的引力势能
Ep=0

=

参考资料来源：百度百科-引力势能
2023-03-27

引力势能和重力势能的微积分公式可以通过边界条件和物理概念推导得出。
引力势能是指由于物体在地球或其他天体的引力场中所具有的能量。其微积分公式可以通过对势能进行微分得到：
dU = -F dr
其中dU表示微小的势能变化，F表示作用在物体上的重力力量，dr表示物体在垂直于力方向上的微小位移。
重力势能是引力势能的一个具体案例，针对重力场而言。重力场是指地球或其他天体所产生的引力场。重力势能的微积分公式如下：
dPE = -mg dh
其中dPE表示微小的重力势能变化，m表示物体的质量，g表示地球的重力加速度（通常近似为9.8 m/s^2），dh表示物体在竖直方向上的微小位移。
这些微积分公式描述了在引力场中物体势能的变化，利用微分的概念来定量描述引力对物体的能量影响。通过积分这些微分公式，可以计算出物体在某一位置上的引力势能或重力势能值。
需要注意的是，这些公式基于物体在引力场中的运动，并假设引力场是恒定的。在一些特殊的情况下（例如在其他引力场中的物体运动），这些公式可能需要进行适当的修改。2023-07-22