方差的三种计算公式

方差的三种计算公式

方差的计算公式主要有以下三种表述方式，但本质上都是相同的：
基本公式：
方差 $S^2$：$S^2 = frac{1}{n}sum_{i=1}^{n}^2$其中，$n$ 是数据的个数，$M$ 是数据的平均值，$x_i$ 是每一个具体的数据点。这个公式表示的是每一个数据与平均值的差的平方的平均值。展开形式：
方差也可以表示为：$S^2 = frac{1}{n}left[ sum_{i=1}^{n}xi^2 2Msum{i=1}^{n}xi + nM^2 right]$这里，$sum{i=1}^{n}xi^2$ 是所有数据的平方和，$2Msum{i=1}^{n}x_i$ 是两倍的平均值乘以所有数据的和，$nM^2$ 是平均值的平方乘以数据的个数。这个公式通过代数变换从基本公式推导出来，有时在计算上可能更为方便。样本方差与总体方差的区分：
在统计学中，还需要注意样本方差与总体方差的区分。上述公式主要适用于总体方差的计算。当数据是从一个更大的总体中随机抽取的样本时，样本方差的计算公式会略有不同，即分母 $n$ 会被 $n1$所替代，这是为了对样本数据的变异性进行无偏估计。因此，样本方差 $s^2$ 的公式为：$s^2 = frac{1}{n1}sum_{i=1}^{n}^2$注意：这里的 $M$ 在样本方差的情况下通常表示为样本均值。综上所述，方差的计算公式虽然有多种表述方式，但核心思想都是衡量数据与其平均值之间的离散程度。
2025-04-13