等比数列的基本公式是：等比数列通项公式 b(n)=b(1)[q^(n-1)] 或b(1)=T(1)，n=1；b(n)=T(n)-T(n-1)，n≥2。等比数列前n项和公式是：T(n)=n，当q=1；T(n)=b(1)[1-q^(n)]/(1-q)，当q≠1。除了基本公式，还有一些技巧公式可以帮助我们更快地解决问题。例如，裂项...
速求数列所涉及的所有公式 连做题的一些技巧公式也一起说下
数列是数学中的一个重要概念，等差数列和等比数列是两种常见的数列形式。等差数列的基本公式是：等差数列通项公式 a(n)=a(1)+(n-1)d 或 a(1)=S(1)，n=1；a(n)=S(n)-S(n-1)，n≥2。等差数列前n项和公式是：S(n)=(n/2)[a(1)+a(n)]=na(1)+n(n-1)d/2。
等比数列的基本公式是：等比数列通项公式 b(n)=b(1)[q^(n-1)] 或b(1)=T(1)，n=1；b(n)=T(n)-T(n-1)，n≥2。等比数列前n项和公式是：T(n)=n，当q=1；T(n)=b(1)[1-q^(n)]/(1-q)，当q≠1。
除了基本公式，还有一些技巧公式可以帮助我们更快地解决问题。
例如，裂项相消是一种常用技巧。对于形如n(n+1)、n(n+1)(n+2)的数列，可以裂项分解为如下形式：n(n+1)=(1/3)[n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]，n=1、2、…；n(n+1)(n+2)=(1/4)[n(n+1)(n+2)(n+3)-(n-1)n(n+1)(n+2)]，n=1、2、…。而对于1/[n(n+a)]，则可以分裂为1/[n(n+a)]=(1/a)[1/n-1/(n+a)]。
通过上述分解方法后，可以使中间的项相互抵消，剩下分解后的数列的前后若干项，很容易求解。
还有一种技巧是错位相减法。对于公差为d≠0的等差数列{a(n)}与公比为q≠1的等比数列{b(n)}相乘而得的复合数列，可以应用错位相减法，得到S(n)=a(1)b(1)+a(2)b(2)+…+a(n)b(n)。
接下来，我们将其乘以公比q，得到qS(n)=a(1)b(2)+a(2)b(3)+…+a(n)b(n+1)。此时上式减下式，则 (1-q)S(n)=a(1)b(1)+[db(2)+db(3)+…+db(n)]-a(n)b(n+1)。其中中括号[]内的部分变为常见的等比数列了，容易求和，最后得出的右边的和除以(1-q)即可得到{a(n)b(n)}的前n项和了。
以上技巧公式和方法可以帮助我们更好地理解和解决数列问题。2024-11-29
