正交化施密特公式怎么算

正交化施密特公式怎么算

施密特正交化是从欧氏空间任意线性无关的向量组α₁，α₂，……，αₘ出发，求得正交向量组β₁，β₂，……，βₘ，使两向量组等价，再单位化得到标准正交向量组的方法，计算步骤如下：

构造正交向量组：设α₁，α₂，……，αₘ是欧氏空间中的一个线性无关向量组，按以下公式计算正交向量组β₁，β₂，……，βₘ：β₁ = α₁；β₂ = α₂ - [(α₂, β₁) / (β₁, β₁)] × β₁；β₃ = α₃ - [(α₃, β₁) / (β₁, β₁)] × β₁ - [(α₃, β₂) / (β₂, β₂)] × β₂；……βₘ = αₘ - ∑ᵢ₌₁ᵐ⁻¹[(αₘ, βᵢ) / (βᵢ, βᵢ)] × βᵢ。其中(α, β)表示向量α与β的内积。单位化：将正交向量组β₁，β₂，……，βₘ单位化，得到标准正交向量组γ₁，γ₂，……，γₘ，公式为γᵢ = βᵢ / ||βᵢ|| （i = 1, 2, ……, m），其中||βᵢ||表示向量βᵢ的模。以3个向量组成的线性无关组α₁，α₂，α₃为例：
先求β₁ = α₁；再求β₂ = α₂ - [(α₂, β₁) / (β₁, β₁)] × β₁；然后求β₃ = α₃ - [(α₃, β₁) / (β₁, β₁)] × β₁ - [(α₃, β₂) / (β₂, β₂)] × β₂；最后将β₁，β₂，β₃单位化，得到标准正交向量组。2025-05-23