抛物线公式

抛物线公式

抛物线公式表达为y=ax2+bx+c，其中a≠0。当a>0时，抛物线开口朝上；当a<0时，抛物线开口朝下。极值点，即顶点，位于坐标（-b/2a，c-b2/4a）处。判别式Δ=b2-4ac决定了抛物线与x轴的交点情况：当Δ>0时，图像与x轴相交于两点（x1，0）和（x2，0），其中x1,2=(-b±√Δ)/2a；当Δ=0时，抛物线与x轴相切于一点（-b/2a，0）；当Δ<0时，抛物线与x轴无交点。
对称轴的位置决定了抛物线相对于y轴的对称情况：当顶点在y轴左侧时，a和b同号；当顶点在y轴右侧时，a和b异号；当顶点位于y轴上时，b=0。特别地，当抛物线顶点位于原点时，b=c=0。通过令x=0，可以判断抛物线与y轴的交点，从而确定c的符号。若抛物线交y轴于正半轴，则c>0；若交y轴于负半轴，则c<0。
抛物线的标准方程有多种形式，根据开口方向可以分为右开口、左开口、上开口和下开口。右开口抛物线的标准方程为y2=2px，左开口抛物线为y2= -2px，上开口抛物线为x2=2py，下开口抛物线为x2= -2py。在这些方程中，p表示焦准距，且p>0。
对于任意线段AB，其中点M在准线l上的射影为M1，而点A和B在准线l上的射影分别为A1和B1。这一几何关系揭示了抛物线性质的一个重要方面，有助于理解抛物线的几何构造和对称性。
2024-12-13