三角形的五心定理及公式

三角形的五心定理及公式

三角形的五心定理及公式如下：
一、重心定理 定义：三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍。该点叫做三角形的重心。 公式：设三角形ABC的三边分别为a、b、c，重心为G，则重心G将中线分为2:1，即AG:GD=BG:GE=CG:GF=2:1。
二、垂心定理 定义：三角形的三条高线交于一点。这点叫做三角形的垂心。 公式：无特定公式，但可以通过三角形的顶点坐标和高线的方程来求解垂心的坐标。
三、内心定理 定义：三角形的三条内角平分线交于一点。这点叫做三角形的内心。这个点到三角形三边的距离相等。 公式：若三角形ABC的边长分别为a、b、c，半周长p=/2，则三角形的面积S=pr。内心I到三角形三边的距离均为r，且r=2S/。
四、外心定理 定义：三角形的三条边的垂直平分线交于一点。这点叫做三角形的外心。这个点到三角形三个顶点的距离相等。 公式：设三角形ABC的三边分别为a、b、c，外心为O，则OA=OB=OC。外心O到三角形三个顶点的距离即为外接圆的半径R，且R=abc/，其中K为三角形的面积。
五、旁心定理 定义：三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点。这点叫做三角形的旁心。三角形有三个旁心。 公式：旁心到三角形一边及其他两边的延长线的距离相等。设三角形ABC的旁心为I’，则I’到BC的距离等于I’到AC延长线及AB延长线的距离。
以上即为三角形的五心定理及相关的公式。这些定理和公式在三角形的性质研究中有着广泛的应用。
2025-05-24