积化和差+和差化积含公式推导

积化和差+和差化积含公式推导

积化和差与和差化积的公式及其推导如下：
积化和差公式： 公式1：$cos A cos B = frac{1}{2}[cos + cos]$ 公式2：$sin A sin B = frac{1}{2}[cos cos]$ 公式3：$cos A sin B = frac{1}{2}[sin sin]$ 公式4：$sin A cos B = frac{1}{2}[sin + sin]$
推导：这些公式可以通过使用和角公式及差角公式进行推导。例如，对于公式1，我们可以将右边的$cos$和$cos$分别展开为$cos A cos B + sin A sin B$和$cos A cos B sin A sin B$，然后将这两项相加并除以2，即可得到左边的$cos A cos B$。其他公式的推导类似。
和差化积公式： 公式5：$cos A + cos B = 2cosfrac{A + B}{2}cosfrac{A B}{2}$ 公式6：$cos A cos B = 2sinfrac{A + B}{2}sinfrac{A B}{2}$ 公式7：$sin A + sin B = 2sinfrac{A + B}{2}cosfrac{A B}{2}$ 公式8：$sin A sin B = 2cosfrac{A + B}{2}sinfrac{A B}{2}$
推导：这些公式可以通过角配凑以及利用积化和差的公式进行推导。例如，对于公式5，我们可以令$alpha = frac{A + B}{2}$和$beta = frac{A B}{2}$，则$A = alpha + beta$且$B = alpha beta$。将这两个表达式代入左边的$cos A + cos B$中，并利用积化和差的公式1进行化简，即可得到右边的表达式。其他公式的推导类似，分别利用积化和差的公式2、3和4进行化简。
2025-03-27