球体体积公式的推导过程

1．球的体积公式的推导基本思想方法：先用过球心的平面截球，球被截面分成大小相等的两个半球，截面⊙ 叫做所得半球的底面．（l）第一步：分割．用一组平行于底面的平面把半球切割成层．（2）第二步：求近似和．每层都是近似于圆柱形状的“小圆片”，我们用小圆柱形的体积近似代替“...

球体体积公式的推导过程

1．球的体积公式的推导

基本思想方法：

先用过球心的平面截球，球被截面分成大小相等的两个半球，截面⊙ 叫做所得半球的底面．

（l）第一步：分割．

用一组平行于底面的平面把半球切割成层．

（2）第二步：求近似和．

每层都是近似于圆柱形状的“小圆片”，我们用小圆柱形的体积近似代替“小圆片”的体积，它们的和就是半球体积的近似值．

（3）第三步：由近似和转化为精确和．

当无限增大时，半球的近似体积就趋向于精确体积．

（具体过程见课本）

2．定理：半径是的球的体积公式为：．

3．体积公式的应用

求球的体积只需一个条件，那就是球的半径．两个球的半径比的立方等于这两个球的体积比．

球内切于正方体，球的直径等于正方体的棱长；正方体内接于球，球的半径等于正方体棱长的倍（即球体对角钱的一半）；棱长为的正四面体的内切球的半径为，外接球半径为．
也可以用微积分来求，不过不好写2006-06-17

由积分求解：
即将将球分成无穷个从球心发出的射线，利用积分求和，即可得到。
具体，在高三数学书上就有，当然，高等数学书上也有详细介绍。

V=∫∫∫dv=∫∫∫(ρ^2)sinθdρdθdφ
R π 2π
=∫(ρ^2)dρ=∫sinθdθ∫dφ
0 0 0
=[（1/3）R^3]*[(-cos(π))-(-cos(0))]*[2π-0]
=(4/3)πR^32006-06-17

微积分2006-06-17

mengvlog 阅读 7 次 更新于 2025-08-21 18:17:14 我来答关注问题 0

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有较多的计算方法，比如可以借用球表面积S=4πr²这个结论，又因为三棱锥的体积公式是底面积×高/3：V=Sh/3 再应用微积分的思想，所以可得球体的体积是：V=Sh/3=4πr²*r/3=(4/3)πr²
球体体积公式怎么推导的?
=π[e^(-2π)+1]/4-V/4,所以V=π[e^(-2π)+1]/5。历史发展中国，也是世界上最早得出计算球体积正确公式的是南朝数学家祖冲之，比欧洲人约早一千年。他还精心钻研天算之术(指天文数学)，精治大明历，经他再三请求，于510年得以正式颁行，他还制成铜日晷(一种用测日影的方法来计时的...

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