椭圆面积公式是怎么推导出来的？

椭圆面积公式是怎么推导出来的？

椭圆的面积公式是通过定积分推导出来的，具体过程如下：
利用对称性简化计算：
由于椭圆$frac{x^2}{a^2} + frac{y^2}{b^2} = 1$具有中心对称性和轴对称性，每个象限的面积相等。因此，可以只计算第一象限的面积，然后将其乘以4。选择积分函数：
在第一象限内，选择函数$y = f$，该区域的面积表示为$int_{0}^{1}fdx$。但由于直接积分$y$关于$x$的表达式较为复杂，因此采用椭圆的参数方程进行转换。参数方程转换：
将椭圆的参数方程$y = bsin t, x = acos t$ 代入面积积分中。此时，$dx = asin t dt$，且当$x$从0变化到1时，$t$从$frac{pi}{2}$变化到0。计算面积积分：
面积积分变为$int{frac{pi}{2}}^{0}bsin tdt = abint{frac{pi}{2}}^{0}sin^2 t dt$。利用定积分的性质，将积分区间反转，得到$abint_{0}^{frac{pi}{2}}sin^2 t dt$。利用三角恒等式简化：
利用三角恒等式$sin^2 t = frac{1 cos 2t}{2}$，将积分简化为$abint_{0}^{frac{pi}{2}}frac{1 cos 2t}{2}dt$。计算该定积分，得到面积$S{text{椭圆}} = ableftBigg|{0}^{frac{pi}{2}} = frac{pi ab}{4}$。得到椭圆面积公式：
由于只计算了第一象限的面积，因此椭圆的总面积为$4 times frac{pi ab}{4} = pi ab$。综上所述，椭圆的面积公式$S_{text{椭圆}} = pi ab$是通过定积分和三角恒等式推导出来的。
2025-04-13