点到直线距离公式的几种推导

点到直线距离公式的几种推导

本文将介绍几种推导点到直线的距离公式的方法。

推导一（面积法）：设直线方程为Ax + By + C = 0，点的坐标为(x0，y0)，由三角形面积公式知：d = |Ax0 + By0 + C| / sqrt(A^2 + B^2)。

推导二（三角函数斜率法）：设直线的倾角为α，代入消去α，便有：d = |Ax0 + By0 + C| / sqrt(A^2 + B^2)。

推导三（求点法）：直线PQ方程为：y - y0 = m(x - x0)，联立直线方程消去y得：x = (Ax0 + By0 + C) / A，代入求出Q点的坐标，从而得到：d = |Ax0 + By0 + C| / sqrt(A^2 + B^2)。

推导四（造圆切线法）：以点P为圆心，作圆与直线相切，圆的方程为：(x - x0)^2 + (y - y0)^2 = (Ax0 + By0 + C)^2 / (A^2 + B^2)，联立直线方程消去y得：x = (Ax0 + By0 + C) / A，从而得到：d = |Ax0 + By0 + C| / sqrt(A^2 + B^2)。

推导五（函数极值法）：将问题转化为求直线方程上一动点Q，使得PQ的距离最短，函数为：f(x) = sqrt((x - x0)^2 + (y - y0)^2)，条件为直线方程，求最小值，从而得到：d = |Ax0 + By0 + C| / sqrt(A^2 + B^2)。

推导六（对称求点法）：设对称点坐标为(x1, y1)，由点P到直线的距离公式得到：d = |Ax0 + By0 + C| / sqrt(A^2 + B^2)。

推导七（求高法）：由直线方程求得点R、S的坐标，即R(x1, y1)、S(x2, y2)，从而求得三角形ROS的面积，进而得到：d = |Ax0 + By0 + C| / sqrt(A^2 + B^2)。

推导八（相似三角形法）：由相似三角形的性质得到：d = |Ax0 + By0 + C| / sqrt(A^2 + B^2)。

平面解析几何主要研究直线与圆锥曲线，通过平面几何的知识，可以带来简洁的过程，多种方法的对比与应用，能开阔思维，激发创新。2024-10-02