Wallis公式及其证明

Wallis公式及其证明

Wallis公式是一种通过无穷积计算的数学方法，其公式为：

π/2 = (2 * 2 * 4 * 4 * 6 * 6 * 8 * 8 * ...)/(1 * 3 * 3 * 5 * 5 * 7 * 7 * ...)。

证明该公式，首先设一个函数f(x) = sin(x)/x，并将其部分积分法拆分，得到两个积分序列。

具体地，将f(x)展开为无穷级数，得到f(x) = 1 - x^2/3! + x^4/5! - ...，接着用部分积分法将x从0到π/2进行积分，可以得到两个积分序列，分别为：S1 = ∫0^π/2 sin(x)/x dx 和 S2 = ∫0^π/2 (x*sin(x))/x dx。

通过计算，可以发现S1和S2满足S1 = π/2 和 S2 = π/4。

接下来，通过比较S1和S2的表达式，可以推导出Wallis公式。由于S2可以进一步化简为S2 = ∫0^π/2 sin(x)dx / 2，进而化简为S2 = [1 - cos(π/2)] / 2 = 1/2。

最后，通过比较S1和S2的值，可以得出Wallis公式：π/2 = (2 * 2 * 4 * 4 * 6 * 6 * 8 * 8 * ...)/(1 * 3 * 3 * 5 * 5 * 7 * 7 * ...)。

此公式在数学分析、概率论等领域有着广泛的应用。它表明了无穷积与积分之间的奇妙联系，揭示了数学中的美妙规律。2024-09-02