微积分求弧长公式

微积分求弧长公式

微积分中的弧长计算公式根据不同坐标系有不同的表达方式，具体如下：
直角坐标系：
若曲线由直角坐标方程 $y = f$ 定义，其弧长 $l$ 可以通过以下积分得到：$l = int_{a}^{b} sqrt{1 + [f’]^2} , dx$这里的 $sqrt{}$ 表示开平方，$f’$ 是函数 $f$ 关于 $x$ 的导数，积分区间是 $x$ 的值从 $a$ 到 $b$。参数坐标系：
若曲线由参数方程 $x = varphi, y = psi$ 给出，弧长公式为：$l = int_{alpha}^{beta} sqrt{[varphi’]^2 + [psi’]^2} , dt$参数 $t$ 的范围从 $alpha$ 到 $beta$，$varphi’$ 和 $psi’$ 分别是 $x$ 和 $y$ 关于参数 $t$ 的导数。极坐标系：
对于极坐标形式 $r = r$ 的曲线，弧长计算公式为：$l = int_{alpha}^{beta} sqrt{[r]^2 + [r’]^2} , dtheta$这里的 $r’$ 是极径 $r$ 关于极角 $theta$ 的导数。这三个公式分别对应了直角坐标、参数坐标和极坐标下的弧长求解，是微积分中处理曲线长度问题的基础工具。
2025-03-31