反函数求导公式以及实例

反函数求导公式以及实例

反函数求导公式及实例如下：
反函数求导公式： 如果原函数为 $y = f$，其反函数为 $x = f^{1}$。 那么，反函数的导数 $frac{dx}{dy}$ 与原函数的导数 $frac{dy}{dx}$ 之间的关系为：$frac{dx}{dy} = frac{1}{frac{dy}{dx}}$。 在这个过程中，将原函数的变量 $x$ 视为自变量，其对应的 $y$ 值视为因变量，从而应用求导公式得出反函数的导数。
实例： 原函数：$y = x^2$。 求导得：$frac{dy}{dx} = 2x$。 反函数：$x = sqrt{y}$。 应用反函数求导公式，得：$frac{dx}{dy} = frac{1}{frac{dy}{dx}} = frac{1}{2x}$。 但由于反函数中的 $x$ 实际上是原函数中的 $y$ 的函数，即 $x = sqrt{y}$，所以需要将 $x$ 替换回 $sqrt{y}$，得到：$frac{dx}{dy} = frac{1}{2sqrt{y}}$。 为了与原函数的变量保持一致，可以写为：$frac{dy^{1}}{dx} = frac{1}{2sqrt{x}}$。
2025-04-14