半角公式推导

半角公式推导

半角公式的推导过程如下：
正弦半角公式： 已知 $cos 2alpha = 1 2sin^2alpha$， 令 $alpha = frac{theta}{2}$，则 $cos theta = 1 2sin^2frac{theta}{2}$， 整理得 $1 cos theta = 2sin^2frac{theta}{2}$， 进一步得到 $sin^2frac{theta}{2} = frac{1 cos theta}{2}$， 开方得 $sinfrac{theta}{2} = sqrt{frac{1 cos theta}{2}}$。
余弦半角公式： 已知 $cos^2alpha = 1 sin^2alpha$， 令 $alpha = frac{theta}{2}$，则 $cos^2frac{theta}{2} = 1 sin^2frac{theta}{2}$， 代入 $sin^2frac{theta}{2} = frac{1 cos theta}{2}$，得 $cos^2frac{theta}{2} = 1 frac{1 cos theta}{2} = frac{1 + cos theta}{2}$， 开方得 $cosfrac{theta}{2} = sqrt{frac{1 + cos theta}{2}}$。
正切半角公式： 已知 $tan alpha = frac{sin alpha}{cos alpha}$， 令 $alpha = frac{theta}{2}$，则 $tanfrac{theta}{2} = frac{sinfrac{theta}{2}}{cosfrac{theta}{2}}$， 代入 $sinfrac{theta}{2} = sqrt{frac{1 cos theta}{2}}$ 和 $cosfrac{theta}{2} = sqrt{frac{1 + cos theta}{2}}$，得 $tanfrac{theta}{2} = sqrt{frac{frac{1 cos theta}{2}}{frac{1 + cos theta}{2}}} = sqrt{frac{1 cos theta}{1 + cos theta}}$。
综上所述，半角公式是利用某个角的三角函数值来求其半角的三角函数值的公式，具体形式包括正弦半角公式、余弦半角公式和正切半角公式。
2025-03-09