两平面的夹角及点到平面距离公式

两平面的夹角及点到平面距离公式

两平面的夹角及点到平面距离公式如下：
一、两平面夹角的余弦公式
在三维空间中，两个平面的夹角可以通过它们的法向量来确定。若两个平面的法向量分别为n₁和n₂，则两平面夹角的余弦值可以通过以下公式计算：
cosθ = |n₁ · n₂| / (|n₁| × |n₂|)
其中，n₁ · n₂表示法向量n₁和n₂的点积，|n₁|和|n₂|分别表示法向量n₁和n₂的模长。需要注意的是，由于法向量可以是任意非零向量，因此在实际计算中，我们通常会对法向量进行单位化处理，即将其模长归一化为1，以简化计算。
二、点到平面的距离公式
对于空间中的一点P(x₀, y₀, z₀)和平面Ax + By + Cz + D = 0，点P到平面的距离d可以通过以下公式计算：
d = |Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D| / √(A² + B² + C²)
其中，A、B、C为平面方程Ax + By + Cz + D = 0的系数，D为常数项。该公式通过计算点P到平面内任意一点（通常选择原点或其他已知点）的向量与平面法向量（由A、B、C构成）的投影长度来得出点到平面的距离。
以上即为两平面夹角的余弦公式及点到平面距离公式的详细介绍。在实际应用中，这些公式在解决空间解析几何问题中具有重要作用。
2025-06-27