三角函数的相关公式众多，但基于给定的公式 $sin x + cos x = e^{ix}$，我们可以推导出一些基本的三角函数公式。以下是一些关键的三角函数公式：和差化积公式：sin x + cos x = sqrt{2}sin$推导：利用 $sin$ 公式，将 $e^{ix}$ 转化为 $cos x + isin x$，并与原式对比可得。$sin ...
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三角函数的相关公式众多，但基于给定的公式 $sin x + cos x = e^{ix}$，我们可以推导出一些基本的三角函数公式。以下是一些关键的三角函数公式：
和差化积公式：
$sin x + cos x = sqrt{2}sin$推导：利用 $sin$ 公式，将 $e^{ix}$ 转化为 $cos x + isin x$，并与原式对比可得。$sin x cos x = sqrt{2}sin$推导：类似地，通过调整相位得到。倍角公式：
$sin 2x = 2sin xcos x$推导：利用 $^2 = 2sin xcos x$，并结合 $sin^2 x + cos^2 x = 1$。$cos 2x = cos^2 x sin^2 x$推导：利用 $^2 = cos^2 x sin^2 x + 2isin xcos x$，并取实部。半角公式：
$sinfrac{x}{2} = pmsqrt{frac{1 cos x}{2}}$推导：通过倍角公式反推，并注意正负号的选取。$cosfrac{x}{2} = pmsqrt{frac{1 + cos x}{2}}$推导：类似地，通过倍角公式反推。和差公式：
$sin = sin xcos y + cos xsin y$推导：利用复数乘法规则，$ = e^{i}$，并展开实部和虚部。$cos = cos xcos y sin xsin y$推导：同样利用复数乘法规则。积化和差公式：
$sin xcos y = frac{1}{2}[sin + sin]$推导：通过和差公式组合得到。$cos xcos y = frac{1}{2}[cos + cos]$推导：类似地，通过和差公式组合。辅助角公式：
$asin x + bcos x = sqrt{a^2 + b^2}sin$，其中 $tanvarphi = frac{b}{a}$推导：通过三角函数的基本关系，将原式转化为单一三角函数形式。请注意，这些公式的推导过程可能涉及复数、代数运算和三角函数的基本性质。在实际应用中，选择适当的公式可以简化计算过程。
2025-06-03
