空间向量平行公式

空间向量平行公式

空间向量平行公式即共线公式两个空间向量a，b向量(b向量不等于0），a∥b的充要条件是存在唯一的实数λ，使a=λb空间向量平行公式证明1.充分性：对于向量 a(a≠0)、b，如果有一个实数λ，使 b=λa，那么由实数与向量的积的定义 知，向量a与b共线。2.必要性：已知向量a与b共线，a≠0，且向量b的长度是向量a的长度的m倍，即 ∣b∣=m∣a∣。那么当向量a与b同方向时，令 λ=m，有 b =λa，当向量a与b反方向时，令 λ=-m，有 b=λa。如果b=0，那么λ=0。共线公式的推论1.两个向量a、b共线的充要条件是：存在不全为零的实数λ、μ，使得 λa+μb=0。2.两个非零向量a、b共线的充要条件是：存在全不为零的实数λ、μ，使得 λa+μb=0。3.如果a、b是两个不共线的向量，且存在一对实数λ、μ，使得 λa+μb=0，那么λ=μ=0。4.如果三点P、A、B不共线，那么点C在直线AB上的充要条件是：存在唯一实数λ，使得向量PC=(1-λ)向量PA+λ向量PB。（其中，向量AC=λ向量AB）。5.如果三点P、A、B不共线，那么点C在直线AB上的充要条件是：存在不全为零的实数λ、μ、ν，使得λ向量PA+μ向量PB+ν向量PC=0，λ+μ+ν=0。扩展向量平行公式的定义1、对于两个向量a(向量a≠向量0)，向量b，当有一个实数λ，使向量b=λ向量a(记住向量是有方向的)则向量a‖向量b。反之，当向量a‖向量b时，有且只有一个实数λ，能使向量b=λ向量a;2、当向量a=(x1，y1)，向量b=(x2，y2)时，当x1y2=x2y1时，向量a‖向量b，反之也成立。“在数学中，向量(也称为欧几里得向量、几何向量、矢量)，指具有大小(magnitude)和方向的量。…若a=(x，y)，b=(m，n)，则a//b→a×b=xn-ym=0”平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行(或共线)向量.向量a、b平行(共线)，记作a∥b。零向量长度为零，是起点与终点重合的向量，其方向不确定。我们规定：零向量与任一向量平行。平行于同一直线的一组向量是共线向量。若a=(x，y)，b=(m，n)，则a//b→a×b=xn-ym=0共线定理：若b≠0，则a//b的充要条件是存在唯一实数λ，使向量a=λ向量b。若设a=(x1，y1)，b=(x2，y2) ，则有 x1y2=x2y1 ，与平行概念相同。0向量平行于任何向量。数与向量的乘法满足下面的运算律结合律：(λa)·b=λ(a·b)=(a·λb)。向量对于数的分配律（第一分配律）：(λ+μ)a=λa+μa.数对于向量的分配律（第二分配律）：λ(a+b)=λa+λb.数乘向量的消去律① 如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b。② 如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。向量的数量积的运算律a·b=b·a（交换律）(λa)·b=λ(a·b)(关于数乘法的结合律)（a+b)·c=a·c+b·c（分配律）向量的数量积的性质a·a=|a|的平方。a⊥b〈=〉a·b=0。|a·b|≤|a|·|b|。（该公式证明如下：|a·b|=|a|·|b|·|cosα| 因为0≤|cosα|≤1，所以|a·b|≤|a|·|b|）向量的向量积运算律a×b=-b×a(λa)×b=λ(a×b)=a×(λb)a×(b+c)=a×b+a×c.(a+b)×c=a×c+b×c.2024-09-23