数项级数相关知识点总结

数项级数相关知识点总结

数项级数相关知识点总结如下：
一、求和方法 特殊技巧求和：通过一些特殊技巧先求出前n项部分和，然后取极限求出级数和。 几何级数求和：利用几何级数的求和公式进行求和。 子列法求和：若已知级数收敛，通过求其部分和数列的极限得到级数的和。 幂级数、傅里叶级数求和：借助幂级数或傅里叶级数的性质进行求和。
二、正项级数敛散性的判定 收敛原理：正项级数收敛的充要条件是它的部分和数列有上界。 比较法：包括普通形式和极限形式，通过比较级数的通项与已知敛散性的级数的通项来判断。 根式判别法：根据级数的通项的n次根式的极限来判断级数的敛散性。 比式判别法：根据级数的相邻两项之比的极限来判断级数的敛散性。 拉贝判别法：利用级数的通项的n次根式与n的乘积的极限来判断。 对数判别法：通过级数的通项的对数与n的乘积的极限来判断。 高斯判别法：针对特定形式的级数，通过判断相关表达式的极限来判断级数的敛散性。 柯西判别法：若级数的通项构成的数列为递减数列，则通过判断该数列与另一个数列的敛散性是否相同来判断原级数的敛散性。 柯西积分判别法：将级数转化为积分形式，通过判断积分的敛散性来判断级数的敛散性。
三、变号级数敛散性判定 柯西收敛准则：通过判断级数是否满足柯西收敛准则来判断其敛散性。 狄里克雷判别法：利用级数的通项与部分和数列的性质来判断。 阿贝尔判别法：类似于狄里克雷判别法，但条件略有不同。 莱布尼兹判别法：针对交错级数，通过判断级数的通项的绝对值是否单调递减且趋于零来判断其敛散性。
四、证明级数发散的常用方法 证明通项不趋于零：若级数的通项不趋于零，则级数发散。 利用柯西收敛准则：通过反证法，假设级数收敛，然后利用柯西收敛准则推出矛盾。 证明按某一种方式加括号后所得到的级数发散：若按某种方式加括号后得到的级数发散，则原级数也发散。 对正向级数，证明前n项部分和数列无上界：若正向级数的部分和数列无上界，则级数发散。 利用包含发散内容的各种判别法：如比较法、根式判别法等，若这些判别法表明级数发散，则级数发散。 利用级数的运算性质：将级数的通项进行拆分，然后利用级数的运算性质来证明其中一个级数发散。
五、收敛阶数的性质 绝对收敛：绝对收敛的级数具有有限和的性质，即满足结合律、交换律和分配律。 条件收敛：条件收敛的级数只满足结合律，不满足交换律和分配律。
2025-04-05