傅里叶变换十大公式 傅里叶变换公式详解

傅里叶变换十大公式 傅里叶变换公式详解

傅里叶变换十大公式及详解
一、基本公式
连续时间傅里叶变换：
公式：$F(omega) = int_{-infty}^{infty} f(t) e^{-jomega t} dt$解释：该公式用于将时域函数$f(t)$转换为频域函数$F(omega)$。逆傅里叶变换：
公式：$f(t) = frac{1}{2pi} int_{-infty}^{infty} F(omega) e^{jomega t} domega$解释：该公式用于将频域函数$F(omega)$转换回时域函数$f(t)$。二、常用函数的傅里叶变换
直流信号：
公式：$2pidelta(omega)$解释：直流信号的傅里叶变换是一个位于$omega=0$处的冲激函数。指数函数（单边）：
公式：$f(t) = e^{-alpha t}u(t) Rightarrow F(omega) = frac{1}{alpha + jomega}$解释：这是一个低通滤波器的频域表示。单位冲激函数：
公式：$F(omega) = 1$解释：单位冲激函数的傅里叶变换是频带无限宽的均匀谱。门函数（矩形窗函数）：
公式：$F(omega) = 2frac{sin(omega T/2)}{omega} = 2T text{Sa}(frac{omega T}{2})$解释：门函数的傅里叶变换是Sa函数（正弦积分函数）。三、其他重要公式
欧拉公式：
公式：$cos(omega_0 t) = frac{e^{jomega_0 t} + e^{-jomega_0 t}}{2}$解释：欧拉公式用于将余弦函数表示为复指数函数的和。频移性质：
公式：$f(t) = e^{jomega_0 t} Rightarrow F(omega) = 2pidelta(omega - omega_0)$解释：该性质说明时域中的调制信号在频域中表现为频率的平移。卷积定理：
公式：$f_1(t) * f_2(t) Leftrightarrow F_1(omega) cdot F_2(omega)$解释：时域中的卷积等于频域中的乘积。调制定理：
公式及解释：虽然没有一个统一的“调制定理”公式，但调制通常指将一个信号（载波）的频率、幅度或相位按照另一个信号（调制信号）的变化而变化。在频域中，这表现为载波信号的频率分量围绕调制信号的频率分量进行分布。总结：傅里叶变换是一种强大的数学工具，能够将时域信号转换为频域信号，从而揭示信号的频率成分。上述十大公式涵盖了傅里叶变换的基本公式、常用函数的变换、以及一些重要的性质和定理。掌握这些公式和概念对于理解和应用傅里叶变换至关重要。
2025-04-10