曲率定义为曲线单位切向量对弧长的导数，公式为 k= |T'(s)| / |r'(s)|，其中T(s)为单位切向量，r(s)为曲线参数方程。曲率反映了曲线弯曲的程度，值越大表示曲线越弯曲。挠率则描述了法线向量的变化率，公式为 τ= |B'(s)| / |r'(s)|，其中B(s)为主法线向量。挠率表示曲线在法线...
微分几何9 - 曲率，挠率，Frenet公式
Frenet标架描述了空间曲线在Frenet坐标系下的运动状态，通过引入坐标系与一阶、二阶导数，精确描述了曲线的曲率和挠率。
曲率定义为曲线单位切向量对弧长的导数，公式为 k= |T'(s)| / |r'(s)|，其中T(s)为单位切向量，r(s)为曲线参数方程。曲率反映了曲线弯曲的程度，值越大表示曲线越弯曲。
挠率则描述了法线向量的变化率，公式为 τ= |B'(s)| / |r'(s)|，其中B(s)为主法线向量。挠率表示曲线在法线方向上的弯曲程度。
Frenet公式提供了Frenet坐标系下各向量及其一阶导数之间的关系，公式为：T'(s)=kN(s), N'(s)= -kT(s)+τB(s), B'(s)= -τN(s)。此公式描述了切向量、法线向量与挠向量的相互关系。
对于一阶导数，切向量一阶导等于曲率乘以法线向量，法线向量一阶导等于负曲率乘以切向量加挠率乘以挠向量。
平面曲线的挠度为0，Frenet公式可以简化为：T'(s)=kN(s)，此公式仅描述了切向量与法线向量的关系，简化了空间曲线的分析过程。2024-08-16
