定积分中的dx恰好代表面积微小增量，与不定积分中的线性函数形式相呼应。这一巧合实则蕴含着数学与几何的巧妙交融，体现了数学之美。最终，微积分基本定理的证明留给读者作为探索和理解的习题。通过深入学习，我们能够更好地理解不定积分符号∫dx及dx的作用，以及微积分理论的精髓。
不定积分符号为什么是∫dx？为什么要加一个dx？是不是多此一
探讨不定积分符号为何是∫dx以及为什么需要加一个dx，初学者有必要深入理解这一概念。
牛顿和莱布尼兹两位数学巨匠在微积分领域开创了先河，其初衷在于通过描述局部的线性特性来揭示非线性现象的本质。具体来说，通过函数在某一点的导数，可以推断出函数在该点的性质，进而推广至定义域，理解整个函数的性质，例如单调性、凹凸性、奇偶性和周期性等。
微分运算符d/dx在某点自变量微小增量与函数增量间存在线性关系，即d/dx为线性函数。若此关系推广至整个定义域的所有可导点，则形成导函数的集合，表示为dy/dx。由此，不定积分作为微分逆运算的概念得以提出，旨在求解原函数。
在最初的使用阶段，不定积分的概念更多地被视作微分运算的逆映射，而非直接与面积相关。直至后来的定积分概念引入，才揭示了曲边梯形面积与原函数的紧密联系。
数学家们发现，要精确计算面积，定积分的概念应运而生，公式形式为∫f(x)dx。牛顿和莱布尼兹分别独立发现微积分基本定理，即牛莱公式，将曲边梯形的面积与原函数之间的联系明确化，公式为∫f(x)dx。
因此，不定积分与面积之间并无直接关联，不定积分作为一种逆运算，是基于牛莱公式揭示原函数与面积间关系而存在的。换言之，仅在求解面积时，定积分与面积存在联系，而不定积分本身是微分逆运算的表现形式。
定积分中的dx恰好代表面积微小增量，与不定积分中的线性函数形式相呼应。这一巧合实则蕴含着数学与几何的巧妙交融，体现了数学之美。
最终，微积分基本定理的证明留给读者作为探索和理解的习题。通过深入学习，我们能够更好地理解不定积分符号∫dx及dx的作用，以及微积分理论的精髓。2024-08-22
