二次函数求对称轴公式法

二次函数求对称轴公式法

二次函数的对称轴公式法求解步骤如下：
1、已知二次函数的一般形式为：y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数。
2、对称轴是函数图像的中垂线，因此对称轴的方程应该满足以下条件：对称轴上的任意一点(x, y)到函数图像上的任意一点(x', y')的距离等于它们在x轴上的距离的相反数，即|x-x'| = |y-y'|。
3、我们可以假设对称轴的方程是x = h，其中h为待求的对称轴的横坐标。
4、将x = h代入函数的一般形式中，得到对称轴上的点为(h, y)。进一步，将x = h和x = x'代入等式|x-x'| = |y-y'|中，得到|h-x'| = |y-y'|。

5、考虑二次函数的图像关于x轴对称，可以将对称轴上的点记作(h, k)，其中k = ax^2 + bx + c。
6、将(h, k)和(x', y')代入等式|h-x'| = |y-y'|中，得到|h - x'| = |ax'^2 + bx' + c - y'|。
7、因为等式两边的绝对值相等，所以可以消去绝对值符号，得到两个方程：h - x' = ax'^2 + bx' + c - y'，以及 h - x' = -ax'^2 - bx' - c + y'。
8、将两个方程整理，得到2ax'^2 + 2bx' + 2c - 2y' = 0。
9、根据坐标(x', y')为曲线上的一点，代入得到的方程，得到2ax'^2 + 2bx' + 2c - 2y' = 0。
10、将方程进一步整理，得到ax'^2 + bx' + (c - y') = 0。这是一个关于x'的二次方程。
11、为了使上述二次方程有实数根，其判别式应满足条件：b^2 - 4ac + 4y' = 0。
12、根据判别式的条件，解方程得到x'的值，然后代入函数的一般形式得到对称轴的公式。

二次函数求对称轴的其他方法：
1、完全平方方法
对于一般形式的二次函数 y = ax^2 + bx + c，我们可以将它通过完全平方的方法变形为 y = a(x - h)^2 + k 的形式。其中(h, k)为抛物线的顶点坐标，也就是对称轴上的点。通过完全平方方法，我们可以将原二次函数变形为顶点形式，从而直接获得对称轴的坐标。
2、变形配方法
对于一般形式的二次函数 y = ax^2 + bx + c，我们可以通过变形配方法将其变形为完全平方的形式。具体步骤如下：
将二次项系数的一半提出来，得到 y = a(x^2 + (b/a)x) + c。

将括号中的两项与常数项 c 进行配方，即做如下变形：y = a(x^2 + (b/a)x + (b/2a)^2 - (b/2a)^2) + c。
通过结合平方项并进行合并，得到 y = a[(x + b/2a)^2 - (b/2a)^2] + c。
整理得到 y = a(x + b/2a)^2 + (c - b^2/4a)。
从中可以得到顶点坐标 (-b/2a, c - b^2/4a)，进而获得对称轴的坐标。
2023-11-11