朴素贝叶斯算法的公式推导主要基于贝叶斯决策理论和条件特征独立假设。以下是具体的公式推导过程：1. 贝叶斯决策理论： 贝叶斯决策理论的核心在于，对于给定的新数据点，我们选择概率最高的类别作为其预测类别。 在计算类别概率时，需要用到条件概率和全概率公式。2. 条件概率和全概率公式： 条件概率公式：$P...
机器学习系列-朴素贝叶斯算法公式推导
朴素贝叶斯算法的公式推导主要基于贝叶斯决策理论和条件特征独立假设。以下是具体的公式推导过程：
1. 贝叶斯决策理论： 贝叶斯决策理论的核心在于，对于给定的新数据点，我们选择概率最高的类别作为其预测类别。 在计算类别概率时，需要用到条件概率和全概率公式。
2. 条件概率和全概率公式： 条件概率公式：$P = frac{P}{P}$，其中$P$表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。 全概率公式：如果事件$B_1, B_2, …, Bn$是一个完备事件组，即它们两两互斥且它们的并为全集，那么对于任一事件A，有$P = sum{i=1}^{n}PP$。
3. 朴素贝叶斯的公式推导： 朴素贝叶斯算法假设特征之间条件独立，即给定类别标签的情况下，各个特征之间是独立的。 基于这个假设，我们可以将联合概率$P$分解为各个特征概率的乘积，即$P = prod{j=1}^{n}P}|Y=c_k)$。 将这个分解后的联合概率代入贝叶斯公式，得到后验概率的表达式：$P = frac{PP}{P} = frac{prod{j=1}^{n}P}|Y=c_k)P}{sum{k}Pprod{j=1}^{n}P}|Y=ck)}$。 由于分母对所有类别都是相同的，因此在比较不同类别的后验概率时，可以省略分母，只需比较分子部分。 最终，朴素贝叶斯算法选择具有最大后验概率的类别作为预测结果，即$y = argmax{c_k}Pprod{j=1}^{n}P}|Y=c_k)$。
4. 实际应用： 在实际应用中，我们需要根据训练数据估计特征概率$P}|Y=c_k)$和类别先验概率$P$。 对于离散特征，可以直接统计特征在每个类别下的频率作为概率估计。 对于连续特征，通常假设其服从正态分布，然后通过训练数据估计均值和方差，进而计算概率密度函数值作为概率估计。
2025-04-14
