条件概率计算公式

条件概率计算公式

条件概率是指在另一个事件已经发生的条件下，某一事件发生的概率。其计算公式如下：

定义公式：设(A)、(B)是两个事件，且(P(B)>0)，则在事件(B)发生的条件下，事件(A)发生的条件概率记为(P(A|B))，其计算公式为(P(A|B)=frac{P(AB)}{P(B)})。其中(P(AB))表示事件(A)与事件(B)同时发生的概率，即(A)、(B)的交集的概率；(P(B))为事件(B)发生的概率。例如，一个袋子里有(3)个红球和(2)个白球，从中不放回地取两次球。设事件(A)为“第二次取到红球”，事件(B)为“第一次取到红球”。先求(P(AB)=frac{3}{5}×frac{2}{4}=frac{3}{10})，(P(B)=frac{3}{5})，那么(P(A|B)=frac{P(AB)}{P(B)}=frac{frac{3}{10}}{frac{3}{5}}=frac{1}{2})。乘法公式：由条件概率的定义公式(P(A|B)=frac{P(AB)}{P(B)})（(P(B)>0)）可以推导出乘法公式(P(AB)=P(B)P(A|B))；同理，当(P(A)>0)时，有(P(AB)=P(A)P(B|A))。乘法公式可用于计算两个事件同时发生的概率。全概率公式衍生形式：若(B_1,B_2,cdots,B_n)是样本空间(Omega)的一个划分，且(P(B_i)>0)，(i = 1,2,cdots,n)，则对于任意事件(A)，有(P(A|B_j)=frac{P(B_j)P(A|B_j)}{sum_{i = 1}^{n}P(B_i)P(A|B_i)}) 。这在有多个互斥且完备的事件(B_i)影响事件(A)发生的情况下使用。2025-04-24