利用泰勒公式 tanx = x+(1/3)x^3 +o(x^3)sinx = x-(1/6)x^3 +o(x^3)tanx - sinx = (1/2)x^3 +o(x^3)换句话 tanx - sinx 等价于 (1/2)x^3 由此可以得知 分母是3 阶 分子是 ： [tan(tanx) -sin(sinx)]由于分母是3 阶， 分子需要利用泰勒公式展开到 3 阶 tanx ...
怎样求分子是三分之一的多项式的通项公式呢？
x->0
分母是 ： (tanx-sinx)
利用泰勒公式
tanx = x+(1/3)x^3 +o(x^3)
sinx = x-(1/6)x^3 +o(x^3)
tanx - sinx = (1/2)x^3 +o(x^3)
换句话
tanx - sinx 等价于 (1/2)x^3
由此可以得知 分母是3 阶
分子是 ： [tan(tanx) -sin(sinx)]
由于分母是3 阶， 分子需要利用泰勒公式展开到 3 阶
tanx = x+(1/3)x^3 +o(x^3)
tan(tanx)
=[ x+(1/3)x^3] +(1/3)[ x+(1/3)x^3]^3 +o(x^3)
=[ x+(1/3)x^3] +(1/3)[ x^3+o(x^3)] +o(x^3)
=x+(2/3)x^3 +o(x^3)
sinx = x-(1/6)x^3 +o(x^3)
sin(sinx)
=[x-(1/6)x^3] -(1/6)[x-(1/6)x^3]^3 +o(x^3)
=[x-(1/6)x^3] -(1/6)[x^3+o(x^3)] +o(x^3)
=x-(1/3)x^3+o(x^3)
tan(tanx) -sin(sinx)
=[x+(2/3)x^3 +o(x^3) ] -[x-(1/3)x^3+o(x^3)]
=x^3 +o(x^3)
tan(tanx) -sin(sinx) 等价于 x^3
lim(x->0) [tan(tanx) -sin(sinx)]/(tanx-sinx)
带入以上等价
=lim(x->0) x^3/[ (1/2)x^3]
=2
2023-10-22
